Question

∫ln(1+√x)dx的解题方法

这是标准答案 分部积分法。I = ∫ ln(1+√x)dx = xln(1+√x) -(1/2) ∫ √x/(1+√x)dx = xln(1+√x) - ∫ x/(1+√x)d√x令 t=√x， 则 I1= ∫ x/(1+√x)d√x = ∫ t^2dt/(1+t) = ∫ [t-1+1/(1+t)]dt = t^2/2-t+ln(1+t)-C =x/2-√x+ln(1+√x)-C,则 I = xln(1+√x)-x/2+√x-ln(1+√x)+C。
可是又人做出第二种方法 和答案不一样 我却又找不出他哪里错了

Answer 1

答：错在这一步，见下图红线圈起来的部分。

这一步，变化太快，把两步问题合成一步而出现的问题，从红线圈起来的前一步，应该这样

=∫2tln(1+t)dt(注意到:[t^2ln(1+t)]'=2tln(1+t)+t^2/(1+t),得：2tln(1+t)=[t^2ln(1+t)]'-t^2/(1+t))

=t^2ln(1+t)-∫[t^2/(1+t)]dt

那么后面就可以按照标准答案做下去了。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

备注

Answer 3

这是过程

Answer 4

图片上的题目做错了
错在第一次分步积分
-∫2t/(1+t)dt
应该为
-∫t^2/(1+t)dt

Answer 5

代换后第一步应该是=t^2ln(1+t)-∫t^2 * 1/(1+t)dt,是t^2不是2t，公式记错了吧