Question

高一必修4的数学题

1 已知函数f(x）=2sin(ωx+ψ)对任意x都有f(π/6+x)=f(π/6-x).则f(π/6)=
2 y=cosxtanx的值域是
3对于x∈R，3/2x²sinθ+2xcosθ+1＞0恒成立，0≤θ＜2π，求θ的取值范围
4已知函数f(x)=ax²+bx+1(a,b为实数）。x∈R，F(X)=f(x)(x＞0），-f(x)(x＜0）
（1）若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0，+∞），求F(X)的解析式
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2,2]时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围
（3）设m＞0，n＜0,m+n＞0,a＞0且f(x)为偶函数，判断F(m)+F(n)能否大于0，并说明理由

Answer 1

刚才打了一半突然说页面错误。。全部没了T^T
再辛苦打一遍吧。。。

1、由f(π/6+x)=f(π/6-x)可知，直线x=π/6为f(x)的一个对称轴，观察图像可知对称轴对应的函数值为波峰或波谷，故f(π/6)=±2（注：型若f(t+x)=f(t-x)这样的情况，一般直线x=t即为函数的对称轴，最特殊的情况即t=0时函数为偶函数）

2、y=cosxtanx=cosx(sinx/cosx)=sinx，由于原函数中x≠π/2+kπ，故y≠±1，即值域为开区间(-1,1)

3、①sinθ=0，θ=0或π时，f(x)=±2x+1，显然不恒大于0
②sinθ≠0，即θ≠0且θ≠π时，函数恒大于零，则函数图像开口向上，即sinθ>0，则有0<θ<π
同时△<0推出，[2(cosθ)]²-6sinθ<0，
2(cosθ)²-3sinθ<0，令sinθ=t,则t²=1-(cosθ)²，(cosθ)²=1-t²
2(1-t²)-3t<0，化简、因式分解得(2t-1)(t+2)>0，即t>1/2，π/6<θ<5π/6

4、(1) f(x)有最小值，且x∈R，则f(x)图像开口向上，a>0
最小值为0，则与x轴只有一个交点，即△=0=b²-4a，b²=4a（注：此处用配方的方法算最小值=0也一样得到b²=4a）
f(-1)=a-b+1=0，b=a+1，代入b²=4a，解得a=1，b=2
即f(x)=(x+1)²，F(x)我这里就不写了

(2)g(x)=x²+(2-k)x+1，g(x)也为二次函数
①g(x)在定义域上单调递增，则g(x)的对称轴在x=-2左侧，即-(2-k)/2≤-2，解得k≤-2
②g(x)在定义域上单调递减，则g(x)的对称轴在x=2右侧，即-(2-k)/2≥2，解得k≥6
综上所述，k∈(-∞,-2]∪[6,+∞)

(3)f(x)为偶函数则有f(x)=f(-x)，得b=0，f(x)=ax²+1
m>0，所以F(m)=am²+1；n<0，所以F(n)=-an²-1
F(m)+F(n)=a(m²-n²)=a(m+n)(m-n)
m>0，n<0，故有m>0>n，m-n>0；又已知m+n>0，a>0
故F(m)+F(n)>0

Answer 2

1. π/6是对称轴，所以f(π/6)=2或者-2
2.。y=cosxtanx=sinx 值域为[-1,1]
3. f（x）=3x²sinθ+4xcosθ+2>0 3sinθ>0且 f（x）的最小值大于0 ， 求得