Question

在三角形ABC中.角ABC=60度.AD、CE平分角BAC、角ACB.求证:AC=AE+CD.

在三角形ABC中.角ABC=60度.AD、CE平分角BAC、角ACB.求证:AC=AE+CD.

Answer 1

设AD，CE相交于O，在AC上截取AF=AE，连接OF
∵AD平分∠BAC
∴∠EAO＝∠FAO，

又AE＝AF，

AO＝AO
∴⊿AEO≌⊿AFO（SAS）；
∴∠AOE＝∠AOF，

∵∠ABC＝60º
∴∠BAC+∠ACB＝120º
又AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠AOC＝180º－1／2﹙∠BAC+∠ACB﹚＝120º，

∴∠AOE＝∠AOF=60º，
∴∠COD＝∠AOE＝60º，

∴∠COF＝180º－∠COD－∠AOF＝60º，
∴∠COD＝∠COF，
又CO＝CO，

∠DCO＝∠FCO，﹙CE平分∠ACB﹚，

∴⊿COD≌⊿COF（ASA）
∴CD＝CF，
∴AC＝AF+CF＝AE+CD。

Answer 2

设内心（△角平分线交点）O；内切圆半径OH₁⊥AB，OH₂⊥BC，OH₃⊥AC。
∵根据切线长定理得：CH₃＝CH₂，AH₃＝AH₁；二式两边分别相加得：AC＝CH₂＋AH₁；
∵Rt△EOH ₁≌Rt△DOH ₂ { H₁＝H₂；∠EOH₁＝∠DOH₂＝120º﹣∠EOH₂ ｝，得EH₁＝DH₂；
∴ AC＝（CD＋DH₂）＋（AE﹣EH₁）＝CD＋AE。