Question

高中数学 函数

已知f（x）=（-3的x次方+a）/（3的x+1次方+b）1. 当a=b=1时，求满足f（x）≥3的x次方的x的取值范围
2.若y=f（x）的定义域为R，又是奇函数，求y=f（x）的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明
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Answer 1

已知f(x)=(-3^x+a)/(3^(x+1)+b)

1. 当a=b=1时，求满足f(x)≥3的x次方的x的取值范围
2.若y=f(x)的定义域为R，又是奇函数，求y=f(x)的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明

(1)解析：∵函数f(x)=(-3^x+a)/(3^(x+1)+b)

令a=b=1

f(x)=(-3^x+1)/(3^(x+1)+1)>=3^x==>(-3^x+1)-3^x*(3^(x+1)+1)>=0

==>-2*3^x+1-3*(3^x)^2>=0

==>3*(3^x)^2+2*3^x-1<=0

==>(3*3^x-1)(3^x+1)<=0==>x>=-1

∴x的取值范围为x>=-1

(2)设y=f(x)的定义域为R，又是奇函数

则f(-x)=-f(x),f(0)=0

∴f(0)=-3^0+a=0==>a=1

f(-x)=(-3^(-x)+1)/(3^(1-x)+b)=-f(x)=(3^x-1)/(3^(x+1)+b)

解得b=3

∴f(x)=(-3^x+1)/(3^(x+1)+3)

f’(x)=[(-3^x+1)’(3^(x+1)+3)-(-3^x+1)(3^(x+1)+3)’]/(3^(x+1)+3)^2

=[(-3^x*ln3)(3^(x+1)+3)-(-3^x+1)(3*3^x*ln3)]/(3^(x+1)+3)^2

=[(-3^x*ln3)6]/(3^(x+1)+3)^2<0

∴f(x)在R上单调减。