Question

设V是数域F上n阶上三角阵所成的集合，证明：在矩阵的加法及数乘下V是线性空间

并求出V的维数

Answer 1

只需说明V对矩阵的加法及数乘运算封闭:
两个上三角矩阵的和仍是上三角
一个数乘上三角矩阵仍是上三角矩阵
所以V是线性空间.
其维数为 n+(n-1)+...+1 = (n+1)n/2

追问

维数是怎么计算的呢 为什么这么加，求解答

追答

设 Eij 为 第i行第j列元素为1其余元素为0的n阶方阵
则 { Eij | 1<= i <= j <= n } 是 V 的一组基
i=1时 有 E11,E12,...,E1n , 共n个
i=2时 有 E22,E23,...,E2n , 共 n-1 个
......
i=n时 有 Enn, 共1个