Question

已知函数,求未知数的取值范围

已知函数f(x)=e^x+tx(为自然对数的底数).若对于任意x属于(0,2],不等式f(x)>0恒成立,求实数t的取值范围 。求好心人给出过程,谢谢！要过程！

Answer 1

解：e^x +tx ＞0
tx＞-e^x 因为x属于(0,2]

所以t＞-(e^x)/x y=-(e^x)/x
y'=-(xe^x-e^x)/x^2=-(x-1)e^x/x^2
y'＞0令 x＜1
所以函数y=-(e^x)/x 在(0,1]上是增函数，在[1,2]上是减函数
ymax=y(1)=-e
t大于y的最大值即可，所以t＞-e
希望可以帮到你，谢谢！

Answer 2

这种问题在高中非常常见。首先f(x)=e^x+tx>0，又x属于(0,2]，所以t>-1/x*e^x。要此式子恒成立，就要求t>(-1/x*e^x)的最大值。问题转化为求(-1/x*e^x)的最大值。求导令导数为0，得x=1，于是代入的t>-e。到了这里还有最后一步，检查等号能否成立。结果是等号不成立。所以最终的结果是t>-e

Answer 3

x=0时，y= 1，x=2时，y=e^2+2t,所以，e^2+2t大于0且小于1，或者e^2+2t大于1，（1-e^2)/2大于t大于-e^2/2或者是t大于（1-e^2)/2,您看对不对。