在△ABC中,B=60°,AC=根号3,求AB+2BC的最大值
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最大值为2√7≈5.29。
已知△ABC中B=60°,b=√3,那么外接圆直径2R=√3/sin60°=2,设A=60°+α,则C=60°-α据正弦定理c+2a=2sin(60°-α)+4sin(60°+α)
=√3cosα-sinα+2√3cosα+2sinα
=3√3cosα+sinα
=2√7sin(β+α),其中sinβ=3√3/2√7;而cosβ=1/2√7。
故AB+2BC的最大值是2√7。
已知△ABC中B=60°,b=√3,那么外接圆直径2R=√3/sin60°=2,设A=60°+α,则C=60°-α据正弦定理c+2a=2sin(60°-α)+4sin(60°+α)
=√3cosα-sinα+2√3cosα+2sinα
=3√3cosα+sinα
=2√7sin(β+α),其中sinβ=3√3/2√7;而cosβ=1/2√7。
故AB+2BC的最大值是2√7。
追答
根据正弦定理,b/sinB=a/sinA=2a/2sinA=c/sinC,
b/sinB=(2a+c)/(2sinA+sinC),
AB=c,BC=a,
2a+c=[√3/(√3/2)]*(2sinA+sinC)=2*(2sinA+sinC),
∵B=60°,
∴C=120°-A,
2a+c=2*[2sinA+sin(120°-A)]
=2(2sinA+sin120°cosA-cos120°sinA)
=2[2sinA+cosA(√3/2)+(sinA)/2]
=5sinA+√3cosA
=2√7[sinA*5/(2√7)+√3/(2√7)cosA]
令5/(2√7)=cosφ,√3/(2√7)=sinφ,
2a+c=2√7sin(A+φ),
∵-2√7≤A+φ≤2√7
∴AB+2BC最大值 2√7.
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