Question

在三角形ABC中，B=60°，AC=根号3，则AB+2BC的最大值为

Answer 1

解：
根据正弦定理得
√3/sin60º=2=BC/sinA=AB/sin(120º-A)
AB+2BC
=2sin(120º-A)+4sinA
=2sin120ºcosA-2cos120ºsinA+4sinA
=√3cosA+sinA+4sinA
=√3cosA+5sinA
=√[(√3)²+5²]sin(A+φ） （这里利用的是辅助角公式）
=2√7sin(A+φ） 其中tanφ=√3/5
≤2√7

所以AB+2BC的最大值为2√7

辅助角公式请参考：http://baike.baidu.com/view/896643.htm

Answer 2

最大值为2√7≈5.29。
已知△abc中b=60°，b=√3，那么外接圆直径2r=√3/sin60°=2，设a=60°+α，则c=60°-α据正弦定理c+2a=2sin(60°-α）+4sin(60°+α）
=√3cosα-sinα+2√3cosα+2sinα
=3√3cosα+sinα
=2√7sin(β+α），其中sinβ=3√3/2√7；而cosβ=1/2√7。
故ab+2bc的最大值是2√7。

Answer 3

由正弦定理得
√3/sin60º=2=BC/sinA=AB/sin(120º-A)
所以AB=2sin(120º-A),BC=2sinA
所以AB+2BC
=2sin(120º-A)+4sinA
=2sin120ºcosA-2cos120ºsinA+4sinA
(两角差的正弦公式)
=√3cosA+sinA+4sinA
=√3cosA+5sinA
=√[(√3)²+5²]sin(A+φ)
(这里利用的是辅助角公式)
=2√7sin(A+φ)
其中tanφ=√3/5
≤2√7
所以AB+2BC的最大值为2√7

Answer 4

设角A角C对边为a.c
a/sinA= √3/sin60°=c/sinC，
a=2sinA,
c=2sin(120°-A),
c+2a=2sin(120°-A)+4sinA=√3cosA+5sinA=√28sin(A+α),最大值为2√7,

Answer 5

AB+2BC的最大值=2√7
过程如图
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