Question

设函数f(x)=ax∧3+bx(a,b为实数)，设b>0,当a≦0且x∈[0,1]时，有f(x)∈

设函数f(x)=ax∧3+bx(a,b为实数)，设b>0,当a≦0且x∈[0,1]时，有f(x)∈[0,1],求b的最大值。

Answer 1

f(x)=ax^3+bx,

f'(x)=3ax^2+b

若a=0,f'(x)=b>0,f(x)为增函数
x∈[0,1],那么f(x)min=f(0)=0,f(1)=b=1

若a<0,f'(x)=0的x^2=-b/(3a)
当-b/(3a)≥1，即b≥-3a时，f'(x)≥0,
f(x)递增，f（x)max=f(1)=a+b=1
∴b≥-3(1-b)
∴2b≤3,
0<b≤3/2

若0< -b/(3a)<1, b<-3a
那么0≤x<√[ -b/(3a)]时，f'(x)>0,f(x)递增
√[-b/(3a)]<x≤1时，f'(x)<0,f(x)递减，
f(x)max=f[√(-b/(3a)]=a*(-b)/(3a)√[-b/(3a)]+b√[-b/(3a)]=1
∴ 2b√[-b/(3a)]=3

∴2b√b=3√(-3a)
∴4b^3=-27a ,
a=-4/27b^3

f(1)=a+b≥0, b<-3a
那么 -4/27b^3+b≥0 ,b<4/9b^3
∴ b^2-27/4≤0 ,b^2>9/4
∴ 3/2<b≤3√3/2

综上0<b≤3√3/2
综上，b的最大值为3√3/2