Question

求解数列问题

已知{an}是各项均为正数的等差数列,Sn为其前n项和,且a1=1,S11=(a6)^2,数列{bn}满足bn=[根号(Sn)]乘3的n次方
(1)求数列an的通项公式
(2)求数列{bn}的通项公式和前n项和Tn

Answer 1

解：①S11=11a6=(a6)^2
得 a6=0或a6=11，因为an各项为正数，d>=0,故a6=11.
所以d=(a6-a1)/5=(11-1)/5=2
an=1+2(n-1)=2n-1
②Sn=n(a1+an)/2=n^2
所以bn=√(Sn)*3^n=n*3^n.
Tn=1*3+2*3^2+3*3^3+...+(n-1)*3^(n-1)+n*3^n
3Tn=1*3^2+2*3^3+...+(n-1)*3^n+n*3^(n+1)
两式相减得：-2Tn=3+3^2+3^3+...+3^n -n*3^(n+1)=3*(1-3^n)/(1-3)-n*3^(n+1)
=[3^(n+1)-3]/2-n*3^(n+1)
Tn=3^(n+1)
(n/2-1/4)*3^(n+1)+3/4

Answer 2

设公差d
s11= （a1+a11）*11/2=（a1+a1+10*d）*11/2=55*d+11
s11=a6^2=(a1+5*d)（a1+5*d）=25*d^2+10*d+1
所以25*d^2-45*d-10=0,得d=2
通项公式为an=1+2(n-1)
Sn=(1+2n-1)*n/2=n^2
bn=n*3^n
Tn=3^1+2*3^2+3*3^3+4*3^4+....+n*3^n
3*Tn=3^2+2*3^3+3*3^4+...+n*3^(n+1)
2*Tn=n*3^(n+1)-3-3^2-3^3-3^4-...-3^n=n*3^(n+1)-3*(1-3^n)/(1-3)=(n-1/2)*3^(n+1)+1/2
Tn=(n/2-1/4)*3^(n+1)+3/4