Question

复合函数定义域的问题

像这样的题要怎么解？

Answer 1

这个题是不是选B啊

因为g(x)是替代了x-1的位置，

因为原函数中可以求出定义域为x>√3或x<-√3

所以x-1>√3-1或x-1<-√3-1

因为g(x)是替代了x-1的位置，

所以g(x)的值域是(-∞，-√3-1)∪(√3-1,+∞)

然后你得到了这个关系

x的位置换成g(x)，设t=g(x)

f(t)=f(g(x))=x^2得到

(t²+2x+2)/(t²+2x-2)=e^(x²)                        （1）

 

求g(x)的定义域，就是求x的范围。

t=g(x)∈(-∞，-√3-1)∪(√3-1,+∞)

带入(1)后得到

e^(x²)>1

所以，定义域是{x|x≠0}

选B

追问

（1）的左边为什么有x还有t呢？应该是f(t)=(t²+2t+2)/(t²+2t-2)吧？

你说的带入（1）后得，是怎么带入的？公式就变成e^(x²)>1了

追答

我是用t来代替的g(x)啊。为了看着方便
因为g(x)取代了x-1的位置，所以在原函数中的定义域x属于(-∞，-√3)∪(√3,+∞)
所以g(x)属于(-∞，-√3-1)∪(√3-1,+∞)
t也就是(-∞，-√3-1)∪(√3-1,+∞)
带入那个f(t)=ln(t²+2x+2)/(t²+2x-2)，
得到f(t)>0
因为f(t)=f(g(x))=ln(t²+2x+2)/(t²+2x-2)=x^2
所以x^2>0
所以定义域是{x|x≠0}

其实这个根据值域来求定义域的

追问

(1)

f(x)=ln(x²+2x+2)/(x²+2x-2)，左边换成t后右变的x不是都得变成t么？你的右边混写x和t是为了表示x和t分别代表了不同的东西么？
(2)
所以x^2>0,所以定义域是{x|x≠0}
你写的这里我看不出有什么因果关系。x^2本来就是>=0的啊！怎么就{x|x≠0}
了呢？

Answer 2

1. 把f(x-1)变换成f(x), 等号左边的 x-1 变成x，右边的 x变成x+1；化简下
   

2. 把g(x) 单做是 x ，计算f(x)的值

3. 判断下 分母不为0，ln(y)中 y>0,

4. 等于x^2 初步判断应该是 >0 ，具体你可以两边把ln化简开来比较下
   

追问

你的意思是计算这个么？

Answer 3

首先，现求出f(x)的定义域，f(x)的定义域就是g(x)的值域
设x-1=t,则x=t+1
∴f(t)=ln[(t+1)的平方+1]/[(t+1)的平方-3]
即f(x)=ln[(x+1)的平方+1]/[(x+1)的平方-3]
ln函数有意义，真数大于0，其中x的平方-3作为分母，不等于0
所以 f(x)的定义域为x<-根号3-1或x>根号3-1
再求出g(x)的表达式
让表达式的值域在<-根号3-1或>根号3-1范围，求x的范围，即为g(x)的定义域

追问

g(x)表达式怎么求？

追答

∵f(x)=ln[(x+1)的平方+1]/[(x+1)的平方-3] 设g(x)=m
∴f[g(x)]=ln[(m+1)的平方+1]/[(m+1)的平方-3]=x的平方
[(m+1)的平方+1]/[(m+1)的平方-3]=e的x平方次幂
1+2/[(m+1)的平方-3]=e的x平方次幂
(m+1)的平方=2/(e的x平方次幂-1)+3
m=-1±根号[2/(e的x平方次幂-1)+3]
即g(x)=-1±根号[2/(e的x平方次幂-1)+3]
所以g(x)根号3-1
解得 x≠0
所以g(x)定义域为{x丨 x≠0}

Answer 4

你好，若函数f(x)的定义域为x∈[a,b]，则f(g(x))的定义域为a≤g(x)≤b的解集。
这里第一步先求f(x)，利用换元t=x-1,x=t+1,算出来f(t)=ln[4/((t+1)^2-3)]，其定义域为t≠±根号3-1
第二步就是求g(x)的表达式。求出g(x)的反函数x(g)=正负根号下f(x)，因为g(x)的定义域就是x(g)的值域，其值域为不等于0，故选B

Answer 5

很简单的，首先你要明白求的是谁，求g(x)的定义域，就必须知道它的表达式，然后根据表达式的限制条件（分母不为零等等）列出等式。对于此题，表达式不明确，则必须通过f(x)求出。已知f（x-1）的表达式，（x - 1）为 T，用T把f中含有x的表达式表示出来，然后用T=g(x)，则X2=F(T)代换出来即得到g(x)的表达式。得出结果。

追问

你的意思是要计算这个么？