Question

关于线性代数行列式的问题

|0 0 0 x1|
|0 0 x2 0|
|0 x3 0 0|
..............
|xn 0 0 0|
上面这个行列式是等于[(-1)^(n-1)n/2]x1*x2*x3*x4吗？为什么？
如果仅仅是4阶呢？

Answer 1

我这里有些图显示不出来

不管怎么说, 这里在做的事情就是初等变换的块形式
把第一大列[A;-E]右乘上B之后加到第二大列上就得到[AB; 0]
用分块矩阵乘法来写就是
[A, 0; -E, B] * [E, B; 0, E] = [A, AB; -E, 0]
只不过图里是按照分量形式而不是块形式来写的
或许图里给的是行列式乘积定理的一种证明, 你可以先不顾循环论证, 按上述块形式搞明白他在干什么, 然后再按分量形式演算一遍
满意请采纳。

追问

老师讲的n阶的副对角线的公式是刚刚那个，但是我试了下四阶发现符号是有问题的，所以想知道这个公式怎么证明。

呃，而且你说的这些我没看懂。。。

Answer 2

（1）根据行列式的定义

x1是第一行第n列、

x2是第二行第n-1列、

……

xn是第n行第1列

考察排列（ n n-1 n-2 …… 2  1）

其逆序数为(n-1)n/2

所以，行列式为

[(-1)^(n-1)n/2]x1·x2·……·xn

（2）n=4时，(n-1)n/2=6

所以，行列式为x1·x2·x3·x4

追问

|0 0 0 1|
|0 0 2 0|
|0 3 0 0|
|4 0 0 0|
这玩意不是=0*0*0*0+0*2*0*4+0*0*0*0+1*0*3*0-1*2*3*4吗？

追答

你还是看看书上行列式的定义这一节吧，

你不要把3阶的照搬到4阶里面来！！