Question

某商场试销一种成本为每件60元的服饰,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不超过45%

,经试销发现,销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45.
（1）若该商场获利为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，售价定为多少元时,商场可以获利最大,最大利润为多少元？

（2）若该商场获利不低于500元，试确定销售单价x的范围.

Answer 1

将
X=65,Y=55，
X=75,Y=45，
这两组数据代入函数y=kx+b,计算得：k=-1 b=120.即y=-x+120
销售单价不低于成本单价 x>=60
获利不得超过45%， 即不能超过45%*60=27。 则最大售价X<=87
所以：
y=-x+120 （60<= x <=87）

(1) 利润=每件利乘以销售量，
w=（x-60）y=（x-60）(120-x)= -X平方+180X-7200 （60<= x <=87）
简化上面函数：W= -(X-90)平方 + 900
通过函数图象可知，
X<=90时，为递增的。
X>=90时，为递减的。
且x的取值范围为 60<= x <=87
所以， X=87时，W取最大值。 最大值为：891
即：
售价定为87元时,商场可以获利最大,最大利润为891元

（2），
利润不低于500，即W>=500.
即： -(X-90)平方 + 900 >=500
解答上面不等式：
得到：70<= x <=110
再结合上面前提条件： 60<= x <=87
取两者交集，得到X的取值范围： 70<= x <=87

即：该商场获利不低于500元，销售单价x的范围为 70<= x <=87

Answer 2

(1)将X=65,Y=55；X=75,Y=45代入函数y=kx+b,计算得：K=-1 b=120.即y=120-x
w=xy=x(120-x)=120x-x平方
对两边求导，再令w的导数为0，就是120-2x=0,这时x=55，也就是说定价为55元为最大利润，将x=55代入w的表达式w=120*55-55*55
(2)w大于等于500， 也就是x平方-120x+500小于等于0，解方程就行了。