Question

已知定义在R上的单调递增函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)且f(1)=1

(1)判断函数奇偶性并证明
(2)解不等式：f(x^2)+f(-6x+4)<-1
(3)设集合A={(x,y)|f(x^2+b+1)-f(ax+y)=1},a,b属于R.B={(x,y)|x+y=0},若集合A共B仅有一个元素 求证：b=(a-1)^/4

Answer 1

答：
f(x)是定义在R上的单调递增函数
f(x+y)=f(x)+f(y)，f(1)=1
1）
令x=y=0，f(0)=f(0)+f(0)，f(0)=0
令x+y=0，y=-x，f(0)=f(x)+f(-x)=0，f(-x)=-f(x)
所以：f(x)是奇函数
2)
f(1)=-f(-1)=1，f(-1)=-1
f(x^2)+f(-6x+4)<-1=f(-1)

f(x^2-6x+4)<f(-1)
x^2-6x+4<-1
x^2-6x+5<0
(x-1)(x-5)<0
解得：1<x<5
3）
集合A，f(x^2+b+1)-f(ax+y)=1
f(x^2+b+1)+f(-ax-y)=1
f(x^2+b+1-ax-y)=1=f(1)
所以：x^2+b+1-ax-y=1
所以：x^2-ax-y+b=0…………（1）
集合B中：x+y=0，y=-x…………（2）
因为：A和B只有一个元素
所以：(1)和(2)方程组有唯一的解
所以：x^2-ax+x+b=0
所以：x^2+(1-a)x+b=0有唯一的解
判别式=(1-a)^2-4b=0
解得：b=(a-1)^2 /4

Answer 2

答:
f(x)是定义在R上的单调递增函数
f(x+y)=f(x)+f(y)，f(1)=1
1)
令x=y=0，f(0)=f(0)+f(0)，f(0)=0
令x+y=0，y=-x，f(0)=f(x)+f(-x)=0，f(-x)=-f(x)
所以:f(x)是奇函数
2)
f(1)=-f(-1)=1，f(-1)=-1
f(x^2)+f(-6x+4)<-1=f(-1)
f(x^2-6x+4)<f(-1)
x^2-6x+4<-1
x^2-6x+5<0
(x-1)(x-5)<0
解得:1<x<5
3)
集合A，f(x^2+b+1)-f(ax+y)=1
f(x^2+b+1)+f(-ax-y)=1
f(x^2+b+1-ax-y)=1=f(1)
所以:x^2+b+1-ax-y=1
所以:x^2-ax-y+b=0…………(1)
集合B中:x+y=0，y=-x…………(2)
因为:A和B只有一个元素
所以:(1)和(2)方程组有唯一的解
所以:x^2-ax+x+b=0
所以:x^2+(1-a)x+b=0有唯一的解
判别式=(1-a)^2-4b=0
解得:b=(a-1)^2
/4