Question

已知函数f（x）满足：f（1）=1/4,4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y属于R），求f（2010）

已知函数f（x）满足：f（1）=1/4,4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y属于R），求f（2010）
解：∵f（1）=1/4，令y=1得
f（x）=f（x+1）+f（x-1），即f（x+1）=f（x）-f（x-1）， 1
f（x+2）=f（x+1）-f（x）， 【这一步是怎么得到的】 2
由1，2得f（x+2）=-f（x-1），【还有这一步是怎么得到的】
即f（x+3）=-f（x）【这步如何得到的】，则f（x+6）=f（x）【这步如何得到的】，∴该函数周期为6【什么叫做函数周期，为什么函数周期是6】
∴f（2010）=f（6×335+0）=f（0）【这步是如何得到的】
令x=1，y=0得4f（1）f（0）=f（1）+f（1），∴f（0）=1/2
∴f（2010）=1/2
【==刚刚高一，从参考书上看到这道题，发现看不懂==求教】

Answer 1

解：
∵f（1）=1/4，令y=1得：
f（x）=f（x+1）+f（x-1），即f（x+1）=f（x）-f（x-1）…………（1）
上式中令x=t+1得：
f(t+1+1)=f(t+1)-f(t+1-1)
f(t+2)=f(t+1)-f(t)
t换回x得：
f（x+2）=f（x+1）-f（x）…………（2）
(1)+(2)得：f(x+2)+f(x+1)=f(x+1)-f(x)+f(x)-f(x-1)
所以：f（x+2）=-f（x-1）

令x=t+1代入上式：
f(t+1+2)=-f(t+1-1)
f(t+3)=-f(t)
t换回x得：
f（x+3）=-f（x）
令x=t+3代入上式：
f(t+3+3)=-f(t+3)
因为：f(t+3)=-f(t)，代入上式
所以：f(t+6)=f(t)
t换回x得：
f（x+6）=f（x）
∴该函数周期为6
【什么叫做函数周期，为什么函数周期是6】——周期函数请参考课本，或者上网搜索

∴f（2010）=f（6×335+0）=f（0）【这步是如何得到的】
6是f(x)的周期，则6的倍数都是f(x)的周期

令x=1，y=0得4f（1）f（0）=f（1）+f（1），∴f（0）=1/2
∴f（2010）=1/2

Answer 2

周期函数：如果函数f(x)=f(x+T),则f(x)为周期函数，周期为T，一般T为最小正周期，如函数
f(x)=sin x , f(x)=cos x 都是周期函数，最小正周期为2π。

1式 f(x+1)=f(x)-f(x-1)
令x=x+1,带入1式，得2式 f(x+2)=f(x+1)-f(x)

把1式带入2式，得 f(x+2)=f(x)-f(x-1)-f(x)=-f(x-1)
化简，f(x+2)=-f(x-1) 再令x=x+1 ,则f(x+3)=-f(x) ，即 f(x)=-f(x+3)
我们最终要得到f(x)=f(x+T)的形式，所以要把-f(x+3)带换掉，
所以将x=x+4 带入 f(x+2)=-f(x-1) 得：-f(x+3)=f(x+6)
所以 f(x)=f(x+6)，由此可知f(x)为周期函数，且周期为6
而2010=6*335+0，所以f(0)=f(0+6)=f(6+6)=f(12+6)=.....=f(6*335+0)=f(2010)
即f(2010)=f(0)=1/2