Question

设函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)<0,f(1)=-

设函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)<0,f(1)=-2 f(x)是奇函数且在R上是减函数 解不等式1/2f(bx^2)-f(x)>1/2f(b^2x)-f(b)(b^2≠2)

Answer 1

f(x+y)=f(x)+f(y), 令x=y=0 f(0)=f(0)+f(0) f(0)=0 令y=-x f(x-x)=f(x)+f(-x) f(x)+f(-x)=0 f(-x)=-f(x) 所以是奇函数 令x>y 则f(x)－f(y) ＝f(x)+f(－y) ＝f(x－y) 因为x>y 所以x－y>0 所以f(x－y)<0 f(x)－f(y)＝f(x－y）<0 所以f(x)为R上的单调减函数 1/2f(bx^2)-f(x)>1/2f(b^2x)-f(b) f(bx^2)-2f(x)>2f(b^2x)-2f(b) f(bx^2)+f(b)+f(b)>f(b^2x)+f(x)+f(x) f(bx^2+b+b)>f(b^2x+x+x) bx^2+2b<b^2x+2x bx^2-(b^2+2)x+2b<0 (x-b)(bx-2)<0 b<2/b时， b<x<2/b b>2/b时， 2/b<x<b