Question

已知函数f(x)=x²/(x-2)（x∈R，且x≠2）。 （1）求f(x)的单调区间；

（2）若函数g(x)=x²-2ax与函数f(x)在x∈[0，1]上有相同的值域，求a的值。

Answer 1

解：
（1）对f（x）求导
f（x）'=（x²-4x）/(x-2)²
作图（步骤省略）
f（x）的单调增区间（-∞，0】和【4，+∞）
f（x）的单调递减区间（0,2）和（2,4）
（2）
函数f(x)在x∈[0，1]的值域[-1/2,0]

g（x）'=2x-2a
g（x）单调增区间（a，+∞）
g（x）单调减区间（-∞，a】
g（x）的最小值g（a）=-a²
讨论
1、当a≥1时，g（x）在[0,1]上单调递减
g（0）=0 g（1）=-1/2 ，a=3/4 这与a≥1矛盾，舍去。
2、当a≤0时，g（x）在[0,1]上单调递增
g（0）=-1/2 不符合题意。
3、当0＜a＜1时，g（x）的最小值g（a）=-a²=-1/2
a=√2/2
即a=√2/2满足题意。