Question

在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1，其中DF⊥AB于点F

其他的都别做，就只要做“类比探索”里的证明，拜托！在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是（填序号即可）①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB．●数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；●类比探索：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．并给出证明

Answer 1

（2）MD=ME，
理由：取AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，
∴AF=
1
2
AB，AG=
1
2
AC．
∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF⊥AB，DF=
1
2
AB，EG⊥AC，EG=
1
2
AC，
∴∠AFD=∠AGE=90°，DF=AF，GE=AG．
∵M是BC的中点，
∴MF∥AC，MG∥AB，
∴四边形AFMG是平行四边形，
∴AG=MF，MG=AF，∠AFM=∠AGM．
∴MF=GE，DF=MG，∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE，
∴∠DFM=∠MGE．
∵在△DFM和△MGE中，

MF＝GE
∠DFM＝∠MGE
DF＝MG

，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴DM=ME；

Answer 2

等腰直角三角形，具体证明通过全等