Question

已知直线a⊥平面α,直线b⊥平面β,且AB⊥a,AB⊥b,平面α∩平面β=c。求证:AB‖c

已知直线a⊥平面α,直线b⊥平面β,且AB⊥a,AB⊥b,平面α∩平面β=c。求证:AB‖c

Answer 1

空间另任取一点P，过P作a的平行线a´,过P作b的平行线b´,设a´与b´确定的平面为γ
∵a⊥c,a‖a´ ∴c ⊥ a´
∵b⊥c,b ‖b´ ∴c⊥ b´
∴c ⊥ 面γ
又 ∵AB⊥a，a‖a´ , ∴AB⊥a´
∵AB⊥b，b‖b´ , ∴AB⊥b´
∴AB⊥面γ
∴AB‖c（垂直于同一平面的两条直线平行）

Answer 2

取一点P，过P作a的平行线a´,过P作b的平行线b´,设a´与b´确定的平面为γ
∵a⊥c,a‖a´ ∴c ⊥ a´
∵b⊥c,b ‖b´ ∴c⊥ b´
∴c ⊥ 面γ
∵AB⊥a，a‖a´ , ∴AB⊥a´
∵AB⊥b，b‖b´ , ∴AB⊥b´
∴AB⊥面γ
∴AB‖c（平行于同一平面的两条直线平行）