Question

设函数f(x)= ax^3-3x+1(x属于R），若对任意x属于[-1,1],都有f(x)≥0成立，求实数a的值。

用导数方法

Answer 1

解：若对于任意x属于【- 1,1】，都有f(x)>=0成立，则f(x)的最小值>=0，要求最值，就需要知道函增减关系，对函数f(x）求导，f’(x）=3ax^2-3,f’(x）=0时取极值，3ax^2-3=0，得x=±1/根号下a（a>0易证，将x=1带入函数得a-2≥0）
当1≤x≤0时，x=-1/根号下a有极值，
-1≤x≤-1/根号下a时f’(x）=3ax^2-3>0，函数递增，
0≥x≥-1/根号下a时f’(x）=3ax^2-3<0,函数递减，
说明x=-1/根号下a有极大值，f(x)在x=-1和x=0时取小值，f(0)=1≥0
f(-1)=4-a≥0,得a≤4.

当1≥x≥0是，x=1/根号下a有极值，
0≤x≤1/根号下a时f’(x）=3ax^2-3<0，函数递减，
1≥x≥1/根号下a时f’(x）=3ax^2-3>0,函数递增，
说明x=1/根号下a有极小值，代入函数得f（1/根号下a)=1/根号下a-3/根号下a+1≥0,
得a≥4;
综合整个定义域，a=4。