Question

已知抛物线y^2=2px（p＞0）的焦点弦AB的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2) 求证

已知抛物线y^2=2px（p＞0）的焦点弦AB的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2)
求证：（1）y1y2=-2p^2 x1x2=p^2/4 （2）|ab|=x1+x2+p=2p/sin^2θ（θ为的直线ab倾斜角）
（3）以ab为直径的圆与抛物线的准线相切
（4）a，b在准线上的射影为c，d则∠cfd=90°

Answer 1

弦AB斜率
k=(y1-y2)/(x1-x2)
=(y1-y2)/[(y1^2/2p)-(y2^2/2p)]
=2p/(y1+y2) (1)
而A、F、B三点共线,故
k=(y1-0)/(x1-p/2) (2)
由(1)、(2)得
y1/(x1-p/2)=2p/(y1+y2)
--->y1y2+y1^2=2px1-p^2
而y1^2=2px1
故y1y2=-p^2
又x1x2=(y1^2/2p)×(y2^2/2p)
=(y1y2)^2/(4p^2)
=(-p^2)^2/(4p^2)
故x1x2=p^2/4

设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦为AB,设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=|AF1|+|AF2|=x1+x2+p
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则线段AB的中点横坐标为(x1+x2)/2
∴AB的中点到准线之距为 (x1+x2)/2+a/4
据抛物线定义得 |AB|=|AF|+|BF|=(x1+a/4)+(x2+a/4)=(x1+x2)+a/2
于是以AB为直径的圆的半径为 1/2|AB|=(x1+x2)/2+a/4,
以上说明了AB的中点到准线之距＝以AB为直径的圆的半径
∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切

ac=af,bd=bf 所以等腰。有∠cfd=180-cfa-dfb=90°