Question

对于课本复习题18的第14题“如图（1），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形

对于课本复习题18的第14题“如图（1），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AE=EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）”，小华在老师的启发下对题目进行了拓广探索，发现：当原题中的“中点E”改为“直线BC上任意一点（B、C两点除外）时”，结论AE=EF都能成立．现请你证明下面这种情况：如图（2），四边形ABCD是正方形，点E为BC反向延长线上一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CM所在直线于点F．求证：AE=EF．

Answer 1

证明：如图，

在AB延长线上截取BG=BE，连接EG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°．
又∵BG=BE，
∴AG=CE．
∵∠ABC=∠BCD=90°，BG=BE，CM为正方形外角平分线
∴∠AGE=∠ECF=45°                       
∵∠ABE=90°，∠AEF=90°
∴∠AEB+∠EAG=90°，∠AEB+∠FEC=90°
∴∠EAG=∠FEC                       
又AG=CE，∠AGE=∠ECF，
在△EAG和△FEC中，

∠EAG＝∠FEC AG＝CE ∠AGE＝∠ECF

，
∴△EAG≌△FEC（ASA），
∴AE=EF．