Question

已知函数f（x）=lnx-ax2+x，（a＞0）（I）求a的最大值，使函数f（x）在（0，+∞）内是单调函数；（II）若

已知函数f（x）=lnx-ax2+x，（a＞0）（I）求a的最大值，使函数f（x）在（0，+∞）内是单调函数；（II）若对于任意的x∈（0，+∞），总有f（x）≤0，求a的取值范围．

Answer 1

（I）由题意可得：f′（x）=

1

x

?2ax+1=

?2ax2+x+1

x

，（x＞0）
当a≤0时，f′（x）＞0，所以此时f（x）在（0，+∞）内是单调递增．
当a＞0时，方程-2ax²+x+1=0的判别式△=1+8a＞0，此时它有两个不相等的实根x₁，x₂（x₁＜x₂），
因为x₁x₂=?

1

2a

＜0，所以x₁＜0＜x₂．
当x∈（0，x₂）时，f′（x）＞0；当x∈（x₂，+∞）时，f′（x）＜0，
所以函数f（x）在（0，+∞）内不是单调函数，
所以a的最大值为0．
（II）由f（1）=1-a可得，当a＜1时，f（x）≤0不恒成立．
当a≥0时，由f′（x₂）=0可得a 

x

2 2

 ＝

x2+1

2

，
所以f（x₂）=lnx₂-ax₂²+x₂=lnx₂-

x2+1

2

+x₂=lnx₂+

x2

2

-

1

2

，
因为f′（1）=2（1-a）≤0，由（I）可得x₂≤1，并且f（x₂）是f（x）最大值，
所以f（x）≤f（x₂）=lnx₂+

x2

2

-

1

2

≤ln1+

1

2

-

1

2

=0．
所以a的取值范围为[1，+∞）．