Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB＝8，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接PA、PB、PC、PD，当BD的长

如图，△ABC内接于⊙O，AB＝8，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接PA、PB、PC、PD，当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并加以证明

Answer 1

解：当BD=4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形。理由如下： ∵P是优弧BAC的中点， ∴β B =β C 。 ∴PB=PC。 若△PAD是以AD为底边的等腰三角形， 则PA=PD。 又∵∠PAD=∠PCB， ∴△PAD∽△ PCB。 ∴∠DPA=∠BPC。 ∴∠BPD=∠CPA。 在△PBD与△PCA中， ∵PB=PC，∠BPD=∠CPA， PD=PA ， ∴△PBD≌△PCA（SAS）。 ∴BD=AC=4。 由于以上结论，反之也成立， ∴当BD=4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形。

Answer 2

P是优弧BAC的中点，
∴PB=PC,∠PBD=∠PCA,
若PD=PA,则钝角△PBD≌钝角△PCA，
∴BD=CA=4.