Question

设函数f（x）=clnx+12x2+bx（b，c∈R，c≠0），且x=1为f（x）的极值点．（Ⅰ）若x=1为f（x）的极大值点，

设函数f（x）=clnx+12x2+bx（b，c∈R，c≠0），且x=1为f（x）的极值点．（Ⅰ）若x=1为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用c表示）；（Ⅱ）若f（x）=0恰有1解，求实数c的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f(x)＝clnx+

1

2

x2+bx（b，c∈R，c≠0），
∴f′(x)＝

c

x

+x+b=

x2+bx+c

x

，
∵x=1为f（x）的极值点，
∴f′（1）=0，
∴b+c+1=0，且c≠1，
f′(x)＝

(x?1)(x?c)

x

．
∵x=1为f（x）的极大值点，
∴c＞1．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；
当1＜x＜c时，f′（x）＜0；
当x＞c时，f′（x）＞0．
∴f（x）的递增区间为（0，1），（c，+∞）；递减区间为（1，c）．
（ II）若c＜0，则f（x）在（0，1）上递减，
在（1，+∞）上递增f（x）=0恰有1解，
则f（1）=0，
即

1

2

+b＝0，所以c＝?

1

2

；
若0＜c＜1，则f极大(x)＝f(c)＝clnc+

1

2

c2+bc，
f极小(x)＝f(1)＝

1

2

+b
因为b=-1-c，则f极大(x)＝clnc+

c2

2

+c(?1?c)＝clnc?c?

c2

2

＜0
f极小(x)＝?

1

2

?c，
从而f（x）=0恰有一解；
若c＞1，则f极小(x)＝clnc+

c2

2

+c(?1?c)＝clnc?c?

c2

2

＜0
f极大(x)＝?

1

2

?c，
从而f（x）=0恰有一解；
所以所求c的范围为{c|0＜c＜1或c＞1或c＝?

1

2

}．．