Question

（Ⅰ）设n维向量组α1，α2，…，αs线性无关，β1，β2，…，βt线性无关，且s+t＞n，证明：存在非零n维

（Ⅰ）设n维向量组α1，α2，…，αs线性无关，β1，β2，…，βt线性无关，且s+t＞n，证明：存在非零n维向量ξ，ξ既可由α1，α2，…，αs线性表示，又可由β1，β2，…，βt线性表示；（Ⅱ）已知α1=（1，2）T，α2=（2，3）T，β1=（3，4）T，β2=（4，5）T，求既可由α1，α2线性表示，又可由β1，β2线性表示的所有非零向量ξ．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证：因s+t＞n，故n维向量组α₁，α₂，…α_s，β₁，β₂，…β_t必线性相关，即有不全
为零的数k₁，k₂，…，k_s，l₁，l₂，…l_t，使
          k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s+l₁β₁+l₂β₂+…+l_tβ_t=0，
于是必有n维向量ξ，使
          k₁α₁+k₂α₂+…+k_tα_t=ξ=-l₁β₁-l₂β₂-…-l_tβ_t．
而且ξ≠0，否则，由α₁，α₂，…α_t线性无关及β₁，β₂，…β_t线性无关，可得k₁=k₂=
…=k_t=0，l₁=l₂=…=l_t=0与前设其不全为零矛盾．
（Ⅱ）解：因α₁，α₂线性无关，β₁，β₂线性无关，而s+t=4＞n=2，由（Ⅰ）知，先求齐
次线性方程组（α₁，α₂，β₁，β₂）X=0的非零解即可．
      （α₁，α₂，β₁，β₂）═→

1 0 ?1 ?2 0 1 2 3

，则非零解为
    k₁（1，-2，1，0）^T+k₂（2，-3，0，1）^T=（k₁+2k₂，-2k₁-3k₂，k₁，k₂）^T
                     （k₁，k₂为不全为零的任意常数）
于是所求非零向量为
ξ=（k₁+2k₂）α₁+（-2k₁-3k₂）α₂=-k₁β₁-k₂β₂=（-3k₁-4k₂，-4k₂-5k₂）^T
                  （k₁，k₂为不全为零的任意常数）