Question

如图，点D在△ABC的边BC上，且与B，C不重合，过点D作AC的平行线DE交AB于E，作AB的平行线DF交AC于点F．又

如图，点D在△ABC的边BC上，且与B，C不重合，过点D作AC的平行线DE交AB于E，作AB的平行线DF交AC于点F．又知BC=5．（1）设△ABC的面积为S．若四边形AEFD的面积为25S；求BD长．（2）若AC＝2AB；且DF经过△ABC的重心G，求E，F两点的距离．

Answer 1

解答：解：如图，

（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴△BDE∽△BCA∽△DCF，
记S_△BDE=S₁，S_△DCF=S₂，
∵S_AEFD=

2

5

S，
∴S₁+S₂=S-

2

5

S=

3

5

S．①

S1

S

=

BD

BC

，

S2

S

=

CD

BC

，
于是

S1

S

+

S2

S

=

BD+CD

BC

=1，即

S1

+

S2

=

S

，
两边平方得S=S₁+S₂+2

S1S2

，
故2

S1S2

=S_AEFD=

2

5

S，即S₁S₂=

1

25

S²．②
由①、②解得S₁=

3± 5

10

S，即

S1

S

=

3± 5

10

．
而

S1

S

=(

BD

BC

)2，即

3± 5

10

=