Question

如图，正三角形ABC的边长为2，D，E，F分别在三边AB，BC和CA上，且D为AB的中点， ， ， .（1）当 时，

如图，正三角形ABC的边长为2，D，E，F分别在三边AB，BC和CA上，且D为AB的中点， ， ， .（1）当 时，求 的大小；（2）求 的面积S的最小值及使得S取最小值时 的值.

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Answer 1

（1）θ＝60°；（2）当θ＝45°时，S取最小值 .

试题分析：本题主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，在 中， ，①，而在 中，利用正弦定理，用 表示DE，在 中，利用正弦定理，用 表示DF，代入到①式中，再利用两角和的正弦公式展开，解出 ，利用特殊角的三角函数值求角 ；第二问，将第一问得到的DF和DE代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定S的最小值. 在△BDE中，由正弦定理得 ， 在△ADF中，由正弦定理得 ．   4分 由tan∠DEF＝ ，得 ，整理得 ， 所以θ＝60°．             6分 （2）S＝ DE·DF＝ ．  10分 当θ＝45°时，S取最小值 ．     12分