Question

已知点A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点P使|PA|＝|PB|，且点P到l的距离等于2.

已知点A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点P使|PA|＝|PB|，且点P到l的距离等于2.

Answer 1

点P(1，－4)或P( ，－ )为所求的点

为使|PA|＝|PB|(如图)，点P必在线段AB的垂直平分线上，又点P到直线l的距离为2，所以点P又在距离l为2且平行于l的直线上，求这两条直线的交点即得所求点P.设点P的坐标为P(a，b)． ∵ A(4，－3)，B(2，－1)．∴ AB的中点M的坐标为(3，－2)．又AB的斜率k AB ＝ ＝－1.∴ AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0. 而P(a，b)在直线x－y－5＝0上．∴ a－b－5＝0①. 又已知点P到l的距离为2，∴ 点P必在与l平行且距离为2的直线上，设直线方程为4x＋3y＋m＝0，由两条平行直线之间的距离公式，得 ＝2， ∴ m＝8或－12.∴ 点P在直线4x＋3y＋8＝0或4x＋3y－12＝0上．∴ 4a＋3b＋8＝0或4a＋3b－12＝0 ②.由①②得a＝1，b＝－4或a＝ ，b＝－ . ∴ 点P(1，－4)或P( ，－ )为所求的点