Question

已知f（x）=x2+ax+a（a≤2，x∈R），g（x）=ex，φ（x）=f(x)g(x)．（Ⅰ）当a=1时，求φ（x）的单调区间

已知f（x）=x2+ax+a（a≤2，x∈R），g（x）=ex，φ（x）=f(x)g(x)．（Ⅰ）当a=1时，求φ（x）的单调区间；（Ⅱ）求φ（x）在x∈[1，+∞）是递减的，求实数a的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数a，使φ（x）的极大值为3？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）当a=1时，φ（x）=（x²+x+1）e^-x．φ′（x）=e^-x（-x²+x）
当φ′（x）＞0时，0＜x＜1；当φ′（x）＜0时，x＞1或x＜0
∴φ（x）单调减区间为（-∞，0），（1，+∞），单调增区间为（0，1）；
（II）φ′（x）=e^-x[-x²+（2-a）x]
∵φ（x）在x∈[1，+∞）是递减的，
∴φ′（x）≤0在x∈[1，+∞）恒成立，
∴-x²+（2-a）x≤0在x∈[1，+∞）恒成立，
∴2-a≤x在x∈[1，+∞）恒成立，
∴2-a≤1
∴a≥1
∵a≤2，1≤a≤2；
（III）φ′（x）=（2x+a）e^-x-e^-x（x²+ax+a）=e^-x[-x²+（2-a）x]
令φ′（x）=0，得x=0或x=2-a：

由表可知，φ（x）_极大=φ（2-a）=（4-a）e^a-2
设μ（a）=（4-a）e^a-2，μ′（a）=（3-a）e^a-2＞0，
∴μ（a）在（-∞，2）上是增函数，
∴μ（a）≤μ（2）=2＜3，即（4-a）e^a-2≠3，
∴不存在实数a，使φ（x）极大值为3．