Question

如图，P是平行四边形ABCD内部一点，PA，PB，PC，PD将平行四边形ABCD分成4个三角形，它们的面积分别为a，a

如图，P是平行四边形ABCD内部一点，PA，PB，PC，PD将平行四边形ABCD分成4个三角形，它们的面积分别为a，ar，ar2，ar3（a＞0，r＞0），试确定点P的位置，并说明理由．

Answer 1

由题意可知S_△APD+S_△BPC=S_△APB+S_△DPC=

1

2

S_ABCD．
因为r＞0，下面分三种情况讨论．
（1）若a+ar=ar²+ar³，得r=1，
此时，S_△APD=S_△BPC=S_△APB=S_△DPC．则点P必为AC与BD之交点；
（2）若a+ar²=ar+ar³，也可得r=1，
此时，S_△APD+S_△BPC=S_△APB+S_△DPC．则点P必为AC与BD之交点；
（3）若a+ar³=ar+ar²，由此可得：a（1+r）（1-r）²=0，
因为a＞0，r＞0，所以r=1，结论仍旧同（1）．
综上所述，点P必为对角线AC与BD的交点．