Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：（1）B1D1∥平面BC1D； （2）A1C⊥B1D1

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：（1）B1D1∥平面BC1D； （2）A1C⊥B1D1．

Answer 1

证明：（1）连结BC₁，BD，DC₁，
∵B₁D₁∥BD，
B₁D₁不包含于平面BC₁D，BD?平面BC₁D，
∴B₁D₁∥平面BC₁D．
（2）连结B₁D₁，A₁C₁，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴B₁D₁⊥A₁C₁，
∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁D₁?A₁B₁C₁D₁，
∴B₁D₁⊥CC₁，
∵A₁C₁∩CC₁=C₁，
∴B₁D₁⊥平面A₁C₁C，
又A₁C?平面A₁C₁C，∴A₁C⊥B₁D₁．