Question

如图1，在平面直角坐标系中，有一矩形ABCD，其三个顶点的坐标分别为A（2，0）、B（8，0）、C（8，3）．将

如图1，在平面直角坐标系中，有一矩形ABCD，其三个顶点的坐标分别为A（2，0）、B（8，0）、C（8，3）．将直线l：y=-3x-3以每秒3个单位的速度向右运动，设运动时间为t秒．（1）当t=______时，直线l经过点A．（直接填写答案）（2）设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，试求S＞0时S与t的函数关系式．（3）在第一象限有一半径为3、且与两坐标轴恰好都相切的⊙M，在直线l出发的同时，⊙M以每秒2个单位的速度向右运动，如图2，则当t为何值时，直线l与⊙M相切？

Answer 1

（1）令y=0，则0=-3x-3，
解得x=-1，
∴直线l：y=-3x-3与x轴的交点为（-1，0），
∵A（2，0），
∴3t=2-（-1），
解得：t=1；


（2）当1＜t≤

4

3

时，如图1，直线l：y=-3x-3向右平移了3t个单位，则直线EF为：y=-3（x-3t）-3，
把x=2代入得：y=9（t-1），
∴AE=9（t-1），
∵直线l：y=-3x-3平移到A点，距离为3，
∴AF=3t-3=3（t-1），
∴S=

1

2

AF?AE=

1

2

×3（t-1）×9（t-1）=

27

2

（t-1）²，
即S=

27

2

（t-1）²；

当

4

3

＜t≤3时，如图2，∵直线EF为：y=-3（x-3t）-3，
∴与CD的交点坐标E（3t-2，3），与x轴的交点F（3t-1，0），
∴DE=3t-2-2=3t-4，AF=3t-1-2=3t-3，
∴S=

1

2

（3t-4+3t-3）×3=9t-

21

2

，
即S=9t-

21

2

；

当3＜t≤

10

3

时，如图3，∵直线EF为：y=-3（x-3t）-3，
∴与CD的交点坐标E（3t-2，3），与x轴的交点F（3t-1，0），与BC的交点G（8，9t-27），
∴DE=3t-2-2=3t-4，AF=3t-1-2=3t-3，BF=3t-1-8=3t-9，
∴S=

1

2

（3t-4+3t-3）×3-

1

2

（3t-9）（9t-27）=-

3

2

（3t-10）²+18，
即S=-

3

2

（3t-10）²+18；
当t＞

10

3

时，直线l扫过矩形ABCD的面积为S为矩形ABCD的面积，
即S=18；


（3）如图4，∵直线EF为：y=-3（x-3t）-3，M（2t+3，3），
∴设直线MN的解析式为：y=

1

3

x+b，
把M代入求得：b=2-

2

3

t，
∴直线MN的解析式为：y=

1

3

x+2-

2

3

t，
解

y= 1 3 x+2- 2 3 t y=-3(x-3t)-3

 得：

x= 29t-15 10 y= 3t+15 10

，
∴N（

29t-15

10

，

3t+15

10

），
∵⊙M与直线相切，
∴MN=3，
∴（2t+3-

29t-15

10

）²+（3-

3t+15

10

）²=3²，
解得：t=5-

10

或t=5+

10

；
∴当t为5-

10

或5+

10

；时，直线l与⊙M相切．