（2014?吉林二模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=2，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线
（2014?吉林二模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=2，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥...
（2014?吉林二模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=2，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1．（Ⅰ）求证：CD=C1D；（Ⅱ）求二面角A1-B1D-P的平面角的正弦值．
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（Ⅰ）证明：连接B1A交BA1于O，
∵PB1∥平面BDA1，B1P?面AB1P，面AB1P∩面BA1D=OD，…（2分）
∴B1P∥OD，又O为B1A的中点，
∴D为AP中点，∴C1为A1P中点，…（3分）
∴△ACD≌△PC1D，∴CD=C1D．…（4分）
（Ⅱ）解：∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝
，AB＝AC＝1，
∴AB⊥AC，…（5分）
以A1为坐标原点，以A1B1，A1C1A1A所在直线建立空间直角坐标系如图所示．
由（Ⅰ）知C1为A1P中点，
∴A1（0，0，0），B1（1，0，0），D(0，1，
)，P（0，2，0），…（6分）
∴
＝(1，0，0)，
=（0，1，
），
设平面A1B1D的法向量
＝(x，y，z)
∵
⊥
且
∵PB1∥平面BDA1，B1P?面AB1P，面AB1P∩面BA1D=OD，…（2分）
∴B1P∥OD，又O为B1A的中点，
∴D为AP中点，∴C1为A1P中点，…（3分）
∴△ACD≌△PC1D，∴CD=C1D．…（4分）
（Ⅱ）解：∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝
| 2 |
∴AB⊥AC，…（5分）
以A1为坐标原点，以A1B1，A1C1A1A所在直线建立空间直角坐标系如图所示．
由（Ⅰ）知C1为A1P中点，
∴A1（0，0，0），B1（1，0，0），D(0，1，
| 1 |
| 2 |
∴
| A1B1 |
| A1D |
| 1 |
| 2 |
设平面A1B1D的法向量
| m |
∵
| m |
| A1B1 |
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