Question

已知等差数列{an}单调递增，a1=1，且a2，a3+4，2a7+1构成等比数列．（1）求数列{an}的公差d；（2）设数列

已知等差数列{an}单调递增，a1=1，且a2，a3+4，2a7+1构成等比数列．（1）求数列{an}的公差d；（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求证：1S1+1S2+1S3+…+1Sn＜2（n∈N，且n＞1）．

Answer 1

（1）解：∵等差数列{a_n}单调递增，∴a_n=a₁+（n-1）d（d＞0）
∵a₂，a₃+4，2a₇+1构成等比数列．∴a₂（2a₇+1）=（a₃+4）²，
即（1+d）（3+12d）=（5+2d）²，解得d=2（负值舍去）
数列{a_n}的公差d为2；
（2）证明：∵S_n=na₁+

1

2

n（n-1）d=n+n（n-1）=n²，
∴

1

Sn

=

1

n2

＜

1

n(n?1)

=

1

n?1

?

1

n

（n＞1）
∴

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜1+1-

1

2

+

1

2

?

1

3

+

1

3

?

1

4

+…+

1

n?1

?

1

n

=2-

1

n

＜2（n∈N，且n＞1）．