Question

（2014?黄山二模）如图，已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点分别为A，B

（2014?黄山二模）如图，已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点分别为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2 的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C，D分别为长轴的左右端点，O为坐标原点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P，判断OM?OP是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）∵四边形F₁AF₂B是边长为2 的正方形，∴a=2，b=c，
∵a²=b²+c²，∴b=c=

2

．
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

2

＝1．
（2）判断

OM

?

OP

是定值4．下面给出证明：
设M（2，m），P（s，t），C（-2，0）．
则直线CM的方程为：y＝

m

4

(x+2)，联立

y＝ m 4 (x+2) x2 4 + y2 2 ＝1

，
化为（8+m²）x²+4m²x+4m²-32=0，
∵直线与椭圆有两个交点，∴△=16m⁴-4（8+m²）（4m²-32）＞0，化为1＞0．
∴-2×s=

4m2?32

8+m2

，解得s＝

16?2m2

8+m2

．
∴t＝

8m

8+m2

．∴M