Question

已知椭圆的中心在原点O，焦点在坐标轴上，直线y=2x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ， |PQ|= 10 11

已知椭圆的中心在原点O，焦点在坐标轴上，直线y=2x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ， |PQ|= 10 11 ，求椭圆的方程．

Answer 1

解析：设所求椭圆的方程为mx 2 +ny 2 =1，（m＞0，n＞0）， 依题意，点P（x 1 ，y 1 ）、Q（x 2 ，y 2 ）的坐标满足方程组 m x 2 +n y 2 =1 y=2x+1 解之并整理得（m+4n）x 2 +4nx+n-1=0 所以：x 1 +x 2 =- 4n m+4n ，x 1 x 2 = n-1 m+4n         ① 由OP⊥OQ， ∴x 1 x 2 +y 1 y 2 =0 ∴x 1 x 2 +（2x 1 +1）（2x 2 +1）=0，5x 1 x 2 +2（x 1 +x 2 ）+1=0 ∴5× n-1 m+4n +2× -4n m+4n +1=0，∴m+n=5      ② 又由|PQ|= 10 11 ∴|PQ| 2 =（x 1 -x 2 ） 2 +（y 1 -y 2 ） 2 = 100 121 ∴（x 1 -x 2 ） 2 +（2x 1 -2x 2 ） 2 = 100 121 ， ∴5（x 1 +x 2 ） 2 -20x 1 x 2 = 100 121 ，（x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 = 20 121 ，③ 由①②③可得：19n 2 -98n+120=0 ∴n=2或n= 60 19 ，m=3或m= 35 19 故所求椭圆方程为3x 2 +2y 2 =1，或 35 x 2 19 + 60 y 2 19 =1 ．