Question

已知数列{an}的通项公式为an=3n-1，在等差数列数列{bn}中，bn＞0（n∈N*），且b1+b2+b3=15，又a1+b1、a2+

已知数列{an}的通项公式为an=3n-1，在等差数列数列{bn}中，bn＞0（n∈N*），且b1+b2+b3=15，又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列．（1）求数列{an?bn}的通项公式；（2）求数列{an?bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）∵a_n=3^n-1（n∈N*），∴a₁=1，a₂=3，a₃=9，
在等差数列{b_n}中，∵b₁+b₂+b₃=15，∴b₂=5．
设等差数列{b_n}的公差为d，
∵a₁+b₁、a₂+b₂、a₃+b₃成等比数列．
∴（1+5-d）（9+5+d）=64，解得d=-10或d=2，
∵b_n＞0（n∈N*），∴舍去d=-10，取d=2，
∴b₁=3，b₃=7，∴b_n=2n+1（n∈N*），
∴a_n?b_n=（2n+1）3^n-1，
（2）由（1）知，T_n=3×1+5×3+7×3²+…+（2n-1）3^n-2+（2n+1）3^n-1，①
3T_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n-1）3^n-1+（2n+1）3ⁿ，②
①-②得-2T_n=3×1+2×3+2×3²+2×3³+…+2×3^n-1-（2n+1）3ⁿ
=3+2（3+3²+3³+…+3^n-1）-（2n+1）3ⁿ=3+2×

3(1?3n?1)

1?3

-（2n+1）3ⁿ=3ⁿ-（2n+1）3ⁿ=-2n?3ⁿ，
∴T_n=n?3ⁿ．