Question

设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=nan-2n（n-1）．（Ⅰ）求数列数列{an}的通项公式an，（Ⅱ）设数列{1a

设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=nan-2n（n-1）．（Ⅰ）求数列数列{an}的通项公式an，（Ⅱ）设数列{1anan+1}的前n项和为Tn，求证15≤Tn＜14．

Answer 1

（I）由S_n=na_n-2n（n-1）
得a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）a_n+1-na_n-4n
即a_n+1-a_n=4…（4分）∴数列{a_n}是以1为首项，4为公差的等差数列∴a_n=4n-3．…（6分）
（II）Tn＝

1

a1a2

+…+

1

anan+1

=

1

1×5

+

1

5×9

+

1

9×13

+…+

1

(4n?3)×(4n+1)

=

1

4

(1?

1

5

+

1

5

?

1

9

+

1

9

?

1

13

+…+

1

4n?3

?

1

4n+1

)=

1

4

(1?

1

4n+1

)＜

1

4

…（10分）
又易知T_n单调递增，
故Tn≥T1＝

1

5

，
得

1

5

≤Tn＜

1

4

．…（12分）