Question

已知直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的左支相交于不同的两点A，B，线段AB的中点为点M，定点C（-2，0）．（1）

已知直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的左支相交于不同的两点A，B，线段AB的中点为点M，定点C（-2，0）．（1）求实数k的取值范围；（2）求直线MC在y轴上的截距的取值范围．

Answer 1

（1）直线y=kx+1代入双曲线x²-y²=1，可得（1-k²）x²-2kx-2=0，
∵直线y=kx+1与双曲线x²-y²=1的左支相交于不同的两点A，B，
∴1-k²≠0，△=4k²+8（1-k²）＞0，

2k

1?k2

＜0，

?2

1?k2

＞0
∴解得1＜k＜

2

．
∴k的取值范围是（1，

2

）．
（2）设M（x₀，y₀），∴x₀=

k

1?k2

，y₀=kx₀+1=

1

1?k2

，
∵直线l经过C（-2，0）及线段AB的中点M，
∴直线MC的方程为：

y

1 1?k2

＝

x+2

k 1?k2 +2

，整理，得x-（-2k²+k+2）y+2=0，
令x=0，解得直线l在y轴上的截距b=

2

?2k2+k+2

．
设f（k）=-2k²+k+2=-2（k-

1

4

）²+

17

8

，
则f（k）在（1，

2

）上是减函数，
∴f（

2

）＜f（k）＜f（1），且f（k）≠0，
∴-2+