Question

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1（1）求f（1）、

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1（1）求f（1）、f（13）的值；（2）若满足f（x）+f（x-8）≤2，求x的取值范围．

Answer 1

（1）令x=y=1得：f（1?1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
令y=

1

x

，则f（x?

1

x

）=f（x）+f（

1

x

）=f（1）=0，
∵f（3）=1，
∴f（

1

3

）=-f（3）=-1；
（2）∵f（9）=f（3）+f（3）=2，
∴f（x）+f（x-8）≤2?f[x（x-8）]≤f（9），
而函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，
∴

x＞0 x?8＞0 x(x?8)≤9

，
解得：8＜x≤9，
∴x的取值范围是（8，9]．