如图,已知在矩形ABCD中,AD=10,CD=5,点E从点D出发,沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动,同
如图,已知在矩形ABCD中,AD=10,CD=5,点E从点D出发,沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动,同时点F从点C出发,沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度...
如图,已知在矩形ABCD中,AD=10,CD=5,点E从点D出发,沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动,同时点F从点C出发,沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动,当B、E、F三点共线时,两点同时停止运动,此时BF⊥CE.设点E移动的时间为t(秒).(1)求当t为何值时,两点同时停止运动;(2)求当t为何值时,EC是∠BED的平分线;(3)设四边形BCFE的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;(4)求当t为何值时,△EFC是等腰三角形.(直接写出答案)
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解:(1)当B,E,F三点共线时,两点同时停止运动,如图所示.
由题意可知:ED=t,BC=10,FD=2t-5,FC=2t.
∵ED∥BC,
∴△FED∽△FBC.
∴
=
.
∴
=
.
解得t=5.
∴当t=5时,两点同时停止运动;
(2)在Rt△BCF和Rt△CDE中,
∵∠BCF=∠CDE=90°,
=
=2,
∴Rt△BCF∽Rt△CDE.
∴∠BFC=∠CED.
∵AD∥BC,
∴∠BCE=∠CED.若∠BEC=∠BFC,则∠BEC=∠BCE.即BE=BC.
∵52+(10-t)2=102,
解得 t1=10+5
(舍去),t2=10-5
.
即当t=10-5
时,EC是∠BED的平分线. 清磨纳
(3)分两种情况讨论:①当F在线段CD上时:S四边形BCFE=S梯形BCDE-S△答没EDF=
(t+10)×5-
t(5-2t)=t2+25;
②当F在CD延长线上时游御:
S四边形BCFE=S梯形BCDE+S△EDF=
(t+10)×5-
t(2t-5)=t2+25;
∴S=t2+25(0≤t≤5);
(4)△EFC是等腰三角形有三种情况:
①若EF=EC时,则点F只能在CD的延长线上,
∵EF2=(2t-5)2+t2=5t2-20t+25,
EC2=52+t2=t2+25,
∴5t2-20t+25=t2+25.
∴t=5或t=0(舍去);
②若EC=FC时,
∵EC2=52+t2=t2+25,FC2=4t2,
∴t2+25=4t2.
∴t=
;
③若EF=FC时,
∵EF2=(2t-5)2+t2=5t2-20t+25,FC2=4t2,
∴5t2-20t+25=4t2.
∴t1=10+5
由题意可知:ED=t,BC=10,FD=2t-5,FC=2t.
∵ED∥BC,
∴△FED∽△FBC.
∴
FD |
FC |
ED |
BC |
∴
2t-5 |
2t |
t |
10 |
解得t=5.
∴当t=5时,两点同时停止运动;
(2)在Rt△BCF和Rt△CDE中,
∵∠BCF=∠CDE=90°,
BC |
CD |
CF |
ED |
∴Rt△BCF∽Rt△CDE.
∴∠BFC=∠CED.
∵AD∥BC,
∴∠BCE=∠CED.若∠BEC=∠BFC,则∠BEC=∠BCE.即BE=BC.
∵52+(10-t)2=102,
解得 t1=10+5
3 |
3 |
即当t=10-5
3 |
(3)分两种情况讨论:①当F在线段CD上时:S四边形BCFE=S梯形BCDE-S△答没EDF=
1 |
2 |
1 |
2 |
②当F在CD延长线上时游御:
S四边形BCFE=S梯形BCDE+S△EDF=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴S=t2+25(0≤t≤5);
(4)△EFC是等腰三角形有三种情况:
①若EF=EC时,则点F只能在CD的延长线上,
∵EF2=(2t-5)2+t2=5t2-20t+25,
EC2=52+t2=t2+25,
∴5t2-20t+25=t2+25.
∴t=5或t=0(舍去);
②若EC=FC时,
∵EC2=52+t2=t2+25,FC2=4t2,
∴t2+25=4t2.
∴t=
5
| ||
3 |
③若EF=FC时,
∵EF2=(2t-5)2+t2=5t2-20t+25,FC2=4t2,
∴5t2-20t+25=4t2.
∴t1=10+5
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