已知函数f(x)=loga(1-x),g(x)=loga(1+x),其中a>0且a≠1.(1)求函数f(x)+g(x)的定义域;
已知函数f(x)=loga(1-x),g(x)=loga(1+x),其中a>0且a≠1.(1)求函数f(x)+g(x)的定义域;(2)判断函数f(x)+g(x)的奇偶性,...
已知函数f(x)=loga(1-x),g(x)=loga(1+x),其中a>0且a≠1.(1)求函数f(x)+g(x)的定义域;(2)判断函数f(x)+g(x)的奇偶性,并证明;(3)若f(x)>g(x),求x的取值范围.
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(1)由题意可得
,即
,解得-1<x<1,
所以定义域为:(-1,1).-----(4分)
(2)设F(x)=f(x)+g(x)=loga(1-x)+loga(1+x),由于F(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,
而且 F(-x)=loga(1+x)+loga(1-x)=F(x),
所以,F(x)为偶函数.------(8分)
(3)当a>1时,由loga(1-x)>loga(耐信1+x),可得 1-x>1+x,x<0,所以-1<x<0.
当0<a<1时,由loga(1-x)>loga(1+x),可得1-x<1+x,x>0,所以0<x<1.
综上,当a>1时,x的取值范围为(-1,0);当0<a<1时,x的取值雀冲范顷亩歼围为(0,1 ).-------(12分)
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所以定义域为:(-1,1).-----(4分)
(2)设F(x)=f(x)+g(x)=loga(1-x)+loga(1+x),由于F(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,
而且 F(-x)=loga(1+x)+loga(1-x)=F(x),
所以,F(x)为偶函数.------(8分)
(3)当a>1时,由loga(1-x)>loga(耐信1+x),可得 1-x>1+x,x<0,所以-1<x<0.
当0<a<1时,由loga(1-x)>loga(1+x),可得1-x<1+x,x>0,所以0<x<1.
综上,当a>1时,x的取值范围为(-1,0);当0<a<1时,x的取值雀冲范顷亩歼围为(0,1 ).-------(12分)
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