Question

已知，如图，四边形ABCD是菱形，∠B是锐角，AF⊥BC于点F，CH⊥AD于点H，在AB边上取点E，使得AE=AH，在CD

已知，如图，四边形ABCD是菱形，∠B是锐角，AF⊥BC于点F，CH⊥AD于点H，在AB边上取点E，使得AE=AH，在CD边上取点G，使得CG=CF，连接EF、FG、GH、HE．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）当∠B为多少度时，四边形EFGH是正方形？并证明．

Answer 1

解答：（1）如图，连结BD，FH，可证得四边形AFCH为矩形，
∴AH=CF=AE=CG，
∵AE：AB=AH：AD，
∴△AEH∽△ABD，
∴∠AEH=∠ABD，EH：BD=AE：AB，
∴EH∥BD，
同理FG∥BD，FG：BD=DF：CB，
∴EH∥FG，EH：BD=FG：BD，
∴EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵BE=BF，∠EBD=∠FBD，
∴BD⊥EF，
∴EH⊥EF，
∴?EFGH是矩形；
（2）当∠B等于45度时，四边形EFGH是正方形，
理由如下：
在正方形EFGH中，∠EHF=45°，
∵∠FEH=∠FAH=90°，
∴AEFH四点共圆，
∴∠EAF=∠EHF=45°，
∴∠ABC=45°．
∴∠B等于45度时，四边形EFGH是正方形．