Question

如图，在四棱锥中P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=2MC，N为AD的

如图，在四棱锥中P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=2MC，N为AD的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PNB；（Ⅱ）（只文科生做）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P-NBM的体积；（只理科生做）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角P-NB-M的平面角的正切值．

Answer 1

解答：证明：（ I）PA=PD，N为AD的中点，
∴PN⊥AD，
又底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，
∴BN⊥AD，
∴AD⊥平面PNB，
∵AD∥BC，
∴BC⊥平面PNB．
（ II）（文科）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD
∴PN⊥平面ABCD，
∴PN⊥NB，
∵PA=PD=AD=2
∴PN＝NB＝

3

，
∴S△PNB＝

3

2

又BC⊥平面PNB，PM=2MC，
∴VP?NBM＝VM?PNB＝

2

3

VC?PNB＝

2

3

?

1

3

?

1

2

?

3

?

3

?2＝

2

3

．
（理科）作ME∥BC交PB于E点，作EF⊥NB于F点，连结MF．
∵BC⊥平面PNB，
∴ME⊥平面PNB，EF是MF在平面PNB上的射影
∴MF⊥BN，
∴∠MFE是二面角P-NB-M的平面角，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD
∴PN⊥平面ABCD，
∴PN⊥NB，
∵PA=PD=AD=2∴PN＝

3

，
在△PBC中可知ME＝

2

3

BC＝

4

3

，
在△PNB中EF＝

1

3

PN＝

3

3

∴tan∠MFE＝

4 3

3

．