Question

如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．PA=PD=AD=2，点M在线段PC上 PM=13P

如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．PA=PD=AD=2，点M在线段PC上 PM=13PC（1）证明：PA∥平面MQB；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M-BQ-C．

Answer 1

（1）证明：连接AC交BQ于N，连接MN
因为 AQ∥BC，所以△ANQ∽△CNB
∴

AQ

BC

＝

AN

NC

＝

1

2

，∴

AN

AC

＝

1

3

∵PM=

1

3

PC，∴PA∥MN
∵PA?平面MQB，MN?平面MQB
∴PA∥平面MQB
（2）解：因为BQ⊥AD，由于平面PAD⊥平面ABCD，所以BQ⊥PA
因为PA∥MN 所以MN⊥BQ
又因为 BC∥AD 而 BQ⊥DA，所以BC⊥BQ
因为MN∥PA，BC∥DA，MN⊥BQ，BC⊥BQ
∴空间角M-BQ-C的平面角等于∠PAD，
∵∠PAD=60°
∴二面角M-BQ-C的平面角为60°．