Question

如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），P是线段AB上的一动点（不与A、B重

如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），P是线段AB上的一动点（不与A、B重合），坐标为（m，1-m）（m为常数）．（1）求经过O、P、B三点的抛物线的解析式；（2）当P点在线段AB上移动时，过O、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动而改变；（3）当P移动到点（12，12）时，请你在过O、P、B三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与P、B两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标．

Answer 1

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
因为抛物线过原点O（0，0）．所以c=0．

a×12+b×1＝0 a×m2+b×m＝1?m

，

a＝? 1 m b＝ 1 m

．
所以y=-

1

m

x²+

1

m

x；

（2）由（1）可知抛物线的对称轴是x=-

1 m

2×(? 1 m )

=

1

2

．
所以它不会随P的移动而改变；

（3）点O（0，0）可满足．
设抛物线的对称轴与x轴交于K，过K作PB的垂直平分线交抛物线于Q₁，Q₂两点，则△Q₁PB，△Q₂PB是等腰三角形．
∵直线PB的解析式为：y=-x+1，
∴Q₁Q₂的解析式是：y=x-

1

2

，抛物线的解析式为：y=-2x²+2x．
所以直线和抛物线的交点Q₁，Q₂两点的坐标是（

5 +1

4

，

5 ?1

4

），（

1? 5

4

，-

5 +1

4

）．