Question

设函数f（x）=ax+sinx+cosx若函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B使得曲线y=f（

设函数f（x）=ax+sinx+cosx若函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为？

Answer 1

设函数f(x)＝ax＋sinx＋cosx．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝ f(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为
f(x)=ax+sinx+cosx，
f'(x)=a+cosx-sinx,
f(x)的图象上存在不同的两点A(x1,*),B(x2,*),使得曲线y=f(x)在点A,B处的切线互相垂直,
<==>(a+cosx1-sinx1)(a+cosx2-sinx2)=-1,
<==>a^2+a(cosx1-sinx1+cosx2-sinx2)+(cosx1-sinx1)(cosx2-sinx2)+1=0,
设u=cosx1-sinx1,v=cosx2-sinx2,则
a^+a(u+v)+uv+1=0,①
△=(u+v)^2-4(uv+1)=(u-v)^2-4,
其中u,v∈[-√2，√2],
设z=u+v,w=u-v,则z,w∈[-2√2,2√2],△=w^2-4的值域是[0,4],
t=√△的值域是[0,2].
解得a=f(z,t)=(-z+t)/2,或a=g(z,t)=(-z-t)/2.
∴f(z,t)的值域是[-√2,√2+1],g(z,t)的值域是[-√2-1,√2],
求并集得 a的取值范围是[-√2-1,√2+1].

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你的认可是我最大的动力、
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>_<|||

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Answer 2

三点我自然明白。