Question

在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC．（

在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC．（1）如果AB=AC，∠BAC=90°①当点D在线段BC上时（不与点B重合），如图1，请你判断线段CE，BD之间的位置关系和数量关系（直接写出结论）；②当点D在线段BC的延长线上时，请你在图2中画出图形，并判断①中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．（2）如图3，若点D在线段BC上运动，DF⊥AD交线段CE于点F，且∠ACB=45°， AC=3 2 ，试求线段CF长的最大值．

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Answer 1

（1）①∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE， ∴AD=AE，∠BAD=∠CAE， ∴△BAD≌△CAE， ∴CE=BD，∠ACE=∠B， ∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°， ∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD． ②①中的结论仍然成立．理由如下： 如图， ∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE， ∴AE=AD，∠DAE=90°， ∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠CAE=∠BAD， ∴△ACE≌△ABD， ∴CE=BD，∠ACE=∠B， ∴∠BCE=90°， 所以线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD． （2）过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，如图， ∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE ∴∠DAE=90°，AD=AE， ∴∠NAE=∠ADM， 易证得Rt△AMD≌Rt△ENA， ∴NE=AM， ∵∠ACB=45°， ∴△AMC为等腰直角三角形， ∴AM=MC， ∴MC=NE， ∵AM⊥BC，EN⊥AM， ∴NE ∥ MC， ∴四边形MCEN为平行四边形， ∵∠AMC=90°， ∴四边形MCEN为矩形， ∴∠DCF=90°， ∴Rt△AMD ∽ Rt△DCF， ∴ MD CF = AM DC ， 设DC=x， ∵∠ACB=45°， AC=3 2 ， ∴AM=CM=3，MD=3-x， ∴ 3-x CF = 3 x ， ∴CF=- 1 3 x 2 +x， ∴当x=1.5时有最大值，最大值为0.75．