Question

已知抛物线y=3x2+mx-2（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点．（2）若m为整数，当关于x的

已知抛物线y=3x2+mx-2（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点．（2）若m为整数，当关于x的方程3x2+mx-2=0的两个有理根在-1与43之间（不包括-1、43）时，求m的值．（3）在（2）的条件下．将抛物线y=3x2+mx-2在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G，再将图象G向上平移n个单位，若图象G与过点（0，3）且与x轴平行的直线有4个交点，直接写出n的取值范围1112＜n＜31112＜n＜3．

Answer 1

解答：（1）证明：△=b²-4ac=m²-4×3×（-2）=m²+24，
∵m²≥0，
∴m²+24≥0，
∴无论m为任何实数，方程3x²+mx-2=0总有两个不相等的实数根，
∴无论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；

（2）解：方程3x²+mx-2=0中，a=3，b=-m，c=-2，
x=

?b± b2?4ac

2a

=

?m± m2+24

6

，
∵两个有理根在-1与

4

3

之间，
∴

?m? m2+24 6 ＞?1① ?m+ m2+24 6 ＜ 4 3 ②

，
由不等式①得，m+

m2+24

＜6，

m2+24

＜6-m，
两边平方得，m²+24＜36-12m+m²，
解得m＜1，
由不等式②得，-m+

m2+24

＜8，

m2+24

＜8+m，
两边平方得，m²+24＜64+16m+m²，
解得m＞-

5

2

，
∴不等式组的解集是-

5

2

＜m＜1，
∵m为整数，
∴m=-2、-1、0，
又∵方程的根是有理数根，
∵m²+24是完全平方式，
∴m=-1；

（3）解：m=-1时，抛物线为y=3x²-x-2，
∵-

b

2a

=-

?1

2×3

=

1

6

，

4ac?b2

4a

=

4×3×(?2)?(?1)2

4×3

=-

25

12

，
∴原抛物线的顶点坐标为（

1

6

，-

25

12

），
沿x轴翻折后顶点的对应点的坐标为（

1

6

，

25

12

），
∵3-

25

12

=

11

12

，3-0=3，
∴

11

12

＜n＜3．
故答案为：

11

12

＜n＜3．